Approximationstheorie und Variationsrechnung

30 Präsenzstunden Vorlesung, 30 Präsenzstunden Übung, 45 Stunden Vor-/Nachbereitung des Praktikums, 45 Stunden Nachbereitung der Vorlesung und Prüfungsvorbereitung

Inhaltliche Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra, Mehrdimensionale Differentialrechnung und Differentialgleichungen

Die Studierenden sind in der Lage,

• die wichtigsten Grundbegriffe und Eigenschaften für das Arbeiten auf Funktionenräumen (Vektorräume, Skalarprodukte) zu benennen und Beispiele zu reproduzieren.
• die Argumentationslinien bei der Herleitung der verschiedenen Projektionssätze zu begründen.
• verschiedene Beispiele und Arten von Orthonormalbasen auf Funktionenräumen zu unterscheiden und für eine gegebene Problemstellung anzuwenden.
• Approximationsaufgaben praktisch zu implementieren mit Hilfe einer Numerik-Software oder einem Computeralgebra-System.
• die erhaltenen Approximationsergebnisse bzgl. ihrer Güte zu beurteilen und durch Experimentieren gewünschte Veränderungen zu folgern.
• das allgemeine Grundproblem der Variationsrechnung zu reproduzieren.
• einfache Variationsprobleme zu erkennen und zu vergleichen, und Modellierungen dieser zu begründen.
• die Argumentationslinien beim Fundamentallemma der Variationsrechnung und der Herleitung der verschiedenen Varianten der Euler-Lagrange-Differentialgleichungen zu erklären.
• an einfachen Anwendungsbeispielen die konkreten Euler-Lagrange-Differentialgleichungen zu entwickeln.
• komplizierte Anwendungsfälle der Variationsrechnung einzuordnen und zu beschreiben.

Einführungen in folgende Gebiete:

• Einführung zu Funktionenräumen: Allgemeine Definitionen von Vektorräumen, Normen und Skalarprodukten und deren Beziehungen am Beispiel von verschiedenen Funktionenräumen und Funktionalen.

• Approximationstheorie: Orthogonalität auf Funktionenräumen, Allgemeiner Projektionssatz, Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt auf Funktionenräumen, Orthogonal- und Orthonormalbasen, Trigonometrische Polynome und Fourier-Reihe, Orthogonale Polynome (bspw. Legendre, Tschebyscheff), Mehrdimensionale Approximationsaufgaben (bspw. über Produkt-Funktionen), Anwendungen der Approximationstheorie (bspw. Ritz-Verfahren).

• Variationsrechnung: Einführungsbeispiele (bspw. Kürzeste Distanz, Brachistochrone, Katenoide), Mathematische Modellierung von problembezogenen Funktionalen, Fundamentallemma der Variationsrechnung, Herleitungen mehrere Varianten der Euler-Lagrange-Differentialgleichungen (bspw. mit festen und beweglichen Rändern, mit Gleichheitsnebenbedingungen, mehreren gesuchten Funktionen, höheren Ableitungen, mehrdimensional) mit vertieften Anwendungsbeispielen (bspw. Geodäsie-Probleme, Minimalflächen).

Folien bzw. Beamer, Tafel, Peer Instruction (PI), Veranschaulichung mit Numerik-Software und Computeralgebra-Systemen

• Best Approximation in Inner Product Spaces, Frank Deutsch, Springer-Nature
• Calculus of Variations, I.M. Gelfand und S.V. Fomin, Dover Books on Mathematics
• Calculus of Variations, Lev D. Elsgolc, Dover Books on Mathematics