Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie

2 SWS Seminaristischer Unterricht und 2 SWS Übung Gesamtaufwand: 150 Zeitstunden, davon ca. 45 Stunden Kontaktzeit

Grundlegende Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Bachelor-Niveau.

Lernziele

Die Studierenden • haben nach diesem Kurs die Fähigkeit, maß- und wahrscheinlichkeitstheoretische Konzepte zur anwendungsbezogenen stochastischen Modellbildung zu benutzen. • sind in der Lage, wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Probleme eigenständig zu behandeln.

Fach- und Methodenkompetenzen

Die Studierenden • können die Maßtheorie in der Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden. • formulieren wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen mit Wahrscheinlichkeitsräumen, Wahrscheinlichkeitsmaßen und Zufallsvariablen und sind in der Lage, diese an Beispielen anzuwenden und zu erklären. • evaluieren und analysieren gegebene stochastische Problemstellungen, wie zum Beispiel die Modellierung mit diskreten und stetigen Zufallsvariablen. • können stochastische Kenngrößen berechnen und interpretieren. • erkennen und nutzen stochastische Unabhängigkeit. • sind sie in der Lage, Illustrationen der Konzepte, wie beispielsweise des zentralen Grenzwertsatzes, mittels Simulationen in Software (z.B. R oder Python) umzusetzen.

Überfachliche Kompetenzen

Die Studierenden erwerben die Fähigkeit, sich eigenständig Literatur zu erarbeiten, die Konzepte der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie nutzt, zum Beispiel aus den Bereichen Statistik, Machine Learning und Finanzmathematik.

Behandlung der wichtigsten Ansätze und Vorgehensweisen der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie:
• Grundlagen der Maßtheorie

• Sigma-Algebren und Erzeuger

• Maße: Dirac-Maß, Zählmaß, Lebesgue-Maß

• Maß- und Wahrscheinlichkeitsräume; Messbarkeit

• Lebesgue-Integral

• Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Wdh.)

• Laplace-Experiment und Kombinatorik

• Stochastische Unabhängigkeit

• Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungen, wie Binomial-Verteilung, Geometrische Verteilung und Poisson-Verteilung

• Stetige Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungen, wie stetige Gleichverteilung und Normalverteilung

• Zufallsvariablen

• Momente von Zufallsvariablen: Erwartungswert und Varianz aus maßtheoretischer Sicht

• Bedingte Erwartungswerte

• Produkträume und stochastische Unabhängigkeit

• Wichtige Sätze der Stochastik, wie Gesetz der großen Zahlen und Zentraler Grenzwertsatz mit Einführung in Konvergenzarten

• Simulation von Zufallszahlen zur Illustration von stochastischen Konzepten

Tafel, Beamer, Software (R, Python), Moodle

• L. Breiman, Probability, Siam Classics in Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-296-3 • P. Billingsley, Probability and Measure, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, 1995

• A. N. Shiryaev, Probability Theory, Graduate Texts in Mathematics Springer-Verlag, 1996

• H. Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie, DeGruyter, 2001

• H. Bauer, Maß- und Integrationstheorie, DeGruyter, 1992

• D. Meintrup, St. Schäffer, Stochastik, Springer, 2004

• Jacod, Ph. Protter, Probability Essentials, Springer, 2002,

• H. Dehling, B. Haupt, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Springer, 2004